​以形解数用勾股定理解决代数问题 以形解数的思路

以形解数用勾股定理解决代数问题 以形解数的思路

我国著名数学家华罗庚先生说过”数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这也就是我们常说的数形结合思想.数形结合思想运用非常广泛,这里所说的用”数”解”形”只是其中一个具体应用,在这里我们不仅可以理解为借助方程和函数知识解答几何问题,还包括借助代数式的恒等变形解答几何问题.学会这种方法,养成用”数”解”形”的习惯,不仅可以在中考中获益,而且对以后的学习也会帮助很大.

类型1 借助方程,用”数”解”形”

例1.　如图,O为△ABC内一点,OA=OB=OC,BO⊥CO,OD⊥AB于点D,DO交AC于点E,已知BC=3,AC=4,则AE的长为 _______

【解析】连接BE,易得EB=AE,∠EAO=∠ECO=∠EBO,

∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°,∴∠BEC=90°,在Rt△BEC中,BC²-CE²=BE²,∴BC²-CE²=AE²,设AE=x,则3²-( 4-x ) ²=x²,

解得x=2+√2/2 或2-√2/2（不合题意,舍去）

【名师点拨】 当问题中涉及线段较多,要想表达清楚这些线段之间的数量关系,可设其中一条或多条线段为未知数,再由线段成比例得到等量关系,从而列出方程( 组 ),解出未知数,完成解题.

例2.（2018秋•嘉兴期末）如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝√3 ，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为　40°或70°　．

【分析】分两种情形画出图形分别求解即可．

【解答】如图1中，当PC＝CE时，设∠ACP＝x．

∵CP＝CE，∴∠CPE＝∠CEP，

∵∠CPE＝∠ACP+∠A＝x+30，∴x+x+30+x+30＝180°，∴x＝40°．

如图2中，当CP＝CE时，设∠ACP＝x．

则∠CPE＝∠CEP＝2x﹣90°+30°＝2x﹣60°，

在△CPE中，90°﹣x+2（2x﹣60°）＝180°，解得x＝70°，

综上所述，∠ACP的度数为40°或70°，

故答案为40°或70°．

【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

牛刀小试：1.（2018秋•青羊区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 ．

【答案】9/2或21/5．

【提示】分两种情形分别画出图形求解即可、

如图1中，当∠AFB′＝90°时．

如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．

类型2.借助函数,用”数”解”形”

例3.（2018秋•石景山区期末）如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是（ ）

【分析】分t≤1/2 a、t＞1/2a两种情况，分别列出S与t的函数关系即可求解．

【解答】如图所示，设△ABC平移中与DG交于点H，

当t≤1/2a时，S＝S△HCD＝1/2CD•HD＝1/2t•t•tan60°＝√3/2 t ²，

该函数为开口向上的抛物线；

当t＞1/2a时，

S＝S四边形ACDH＝S△ABC﹣S△BDH

＝√3/4 a ²﹣1/2（a﹣t）（a﹣t）tan60°═√3/4 a ²﹣√3/2（a﹣t）²，

该函数为开口向下的抛物线；故选：C．

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

例4.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,P为☉O上一动点,P从A→D→B在半圆上运动( 点P不与点A重合 ),AP交CD所在的直线于点F,已知AB=10,CD=8,记PA=x,AF为y,则y关于x的函数图象大致是 ( )

【解析】分别连接OC,AC,CP,在Rt△OCE中,OE=3,在Rt△ACE中,有勾股定理可求得AC=4√5,易证△ACP∽△AFC,∴AC²=AP·AF,即xy=80,y=80/x ( 0<x≤10 ),A项正确.

牛刀小试：2.（2018•莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（ ）

【答案】B．

【提示】依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分s=√3/2 t²，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分s＝﹣√3t²+3√3t﹣3√3/2；，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分s＝√3t²/2-3√3t+9√3/2．

类型3.借助代数式的恒等变形,用”数”解”形”

例5．（2018浙江温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）

A. 20 B. 24 C.99/4 D.53/2

,

【分析】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是求出小正方形的边长．设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x ²+y ²=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得xy的值即为矩形的面积

此类问题容易出错的地方是图形复杂，不能从图形中看出各边之间的关系

【解答】设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x ²+y ²=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=b-a=1用完全平方公式得（x-y）²=1，x ²-2xy+y ²=1,49-2xy=1, -2xy=-48,所以xy=24即为矩形的面积为24所以答案为24

【一题多解】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x ²+bx）=（a+x）（b+x）,化简得 ：ax+x ²+bx-ab=0，

又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x ²＋7x=12;

∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x ²＋7x+12=24.

故答案为：B.

【方法规律】遇到这类不能直接求解的题目，一般需要设未知数，然后，根据图形和条件列式，计算时注意运用方程思想和整体思想解题。

例6.如图，在△ABC中,D,E,F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.

（1）段BG的长.

（2）DG平分∠EDF.

【答案】 ( 1 )∵D,E,F分别是△ABC三边的中点,

又∵△BDG与四边形ACDG的周长相等,

即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,∴BG=AC+AG.

∵BG=AB-AG,∴BG=(AB+AC)/2=(b+c)/2.

( 2 )由( 1 )知,BG=(b+c)/2,FG=BG-BF=(b+c)/2-c/2=b/2.

∵DF=1/2AC=b/2,∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD.

又∵DE∥AB,∴∠EDG=∠FGD,

∴∠FDG=∠EDG,∴DG平分∠EDF.

牛刀小试：3.如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.

( 1 )求AE和BD的长;

( 2 )若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,求证:S=AE·BD.

解:( 1 )∵△ABD与△ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,

∴AB+BD=AC+CD,∴c+BD=b+CD,

∵CD=a-BD,∴c+BD=b+a-BD,

∴BD=1/2( a+b-c );同理AE=1/2( a-b+c ).

(2)∵∠BAC=90°,∴b ² +c ² =a ²,S=1/2bc,

由（1）知AE·BD=1/2( a+b-c )×1/2( a-b+c )=1/4[a+( b-c )][a-( b-c )]=1/4[a ² -( b-c ) ²]=1/4( a ² -b ² -c ² +2bc]=1/2ab.即S=AE·BD.

综上所述，数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中可以看出，数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透；把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．